5.3 Movimiento geocéntrico de los planetas
En una base eclíptica heliocéntrica X Y Z (Fig.
4.5), sean y
los vectores de
posición de la Tierra P1 y de un planeta P2 y
y
sus respectivas velocidades.
La posición y el movimiento geocéntricos de dicho planeta, en una cierta época,
vendrán definidos por los vectores:
donde, como que la velocidad de un planeta depende sólo de su
vector de posición (27.3), r será
función sólo de r1 y r2.
Llamaremos a los vectores de
movimiento medio de P1 y P2. En el triángulo P1P2S,
el ángulo E recibe el nombre de elongación
y F el de ángulo de fase.
5.3. 2 Configuraciones
geocéntricas
Diremos que un
planeta P2 es inferior o superior con respecto a la Tierra P1,
según que sea menor o mayor,
respectivamente, que
(Fig.
4.5).
Un planeta
inferior está en conjunción inferior
o en conjunción superior, según que su
longitud heliocéntrica sea igual a la de la Tierra o a la de ésta más 180º (Fig. 5.5).
Un planeta
superior está en oposición o en conjunción según que su longitud
heliocéntrica sea igual a la de la Tierra o a la de ésta más 180º (Fig. 6.5).
Para todas estas configuraciones se verifica:
En la órbita relativa del planeta, será mínimo o máximo, es decir P2 pasará por el perigeo
o apogeo, siendo máximos o mínimos el semidiámetro aparente y la
paralaje, si:
Se dice que un planeta está estacionario cuando
su longitud geocéntrica no varía. La proyección sobre la eclíptica de la
velocidad areolar relativa es entonces nula y, por tanto:
Para
un planeta superior (Fig. 7.5 (a)) la elongación E puede tomar
todos los valores posibles, diciéndose en particular que el planeta está en cuadratura
cuando E = 90º, siendo ésta la diferencia entre las longitudes geocéntricas
del planeta y del Sol.
En cambio, un planeta inferior presenta una máxima
elongación, oriental u occidental, (Fig. 7.5 (b)) que
puede calcularse mediante la condición:
(21.5)
Para un planeta inferior (Fig. 8.5
(a)) el ángulo de fase F puede tomar todos los valores posibles, diciéndose en
particular que tiene lugar la dicotomía cuando F=90º. Un planeta
superior, en cambio, presenta un máximo ángulo de fase (Fig.8.5 (b)) que puede calcularse mediante
la condición:
(22.5)
5.3.3 Movimiento geocéntrico circular
Estudiemos ahora las configuraciones geocéntricas consideradas
en 5.3.2 en la hipótesis simplificativa de que los planetas describen órbitas
circulares. Además de (17.5) tendremos:
(23.5)
Sean Ω, i, los
elementos eclípticos del planeta P2,
V2 su anomalía
verdadera, l1 la longitud
heliocéntrica de la Tierra P1
y P2 = Ω +
+V2 la longitud del planeta P2 sobre su órbita (Fig. 9.5). Los argumentos u1
y u2 de P1
y P2,
contados a partir del nodo ascendente N (eje X), valdrán
u1 = l1
- Ω
u2 = l2
- Ω = + V2
Según
(18.5) un planeta P2
estará en conjunción o en oposición si el triángulo esférico NP1
P2 es rectángulo en P1 y, por tanto:
relación también válida aunque las órbitas
no sean circulares.
En particular, si además de
suponer las órbitas circulares las suponemos coplanarias, es i
= 0 y, según (24.5):
o que corresponde a
conjunción inferior si el planeta es inferior o a oposición si el planeta es
superior,
o
que corresponde a
conjunción superior si el planeta es inferior o a simplemente conjunción si el
planeta es superior.
En dicha hipótesis, el intervalo de
tiempo S transcurrido entre dos configuraciones sucesivas del mismo nombre,
denominado revolución sinódica,
vendrá dado por la condición:
e
introduciendo el movimiento medio
sinódico se tendrá, también:
debiéndose
tomar el signo más o el signo menos según que el planeta P2 sea inferior o
superior.
En la TABLA
VII figuran las revoluciones sinódicas de los planetas, así como las
distancias medias al Sol a y los
radios rB de sus órbitas, supuestas circulares, calculados a partir
de la ley empírica de Bode
Dado que las excentricidades y las
inclinaciones de las órbitas planetarias son realmente pequeñas, las revoluciones
sinódicas dan una idea aproximada de la periodicidad con la cual, para cada
planeta, se reproducen las distintas configuraciones.
Según (19.5)
un planeta P2 pasará por el perigeo o apogeo, recordando (17.5) y (23.5), si se verifica
u operando:
(26.5)
Es decir, si generalizamos (25.5)
y definimos el vector de movimiento medio sinódico:
(27.5)
en el perigeo o apogeo, la Tierra P1
y el planeta P2 se encuentran sobre un plano que pasa por (Fig. 10.5).
Siendo pues rectángulos en R los triángulos NRP1
y NRP2 se tiene
y dado que, según se
desprende de la figura 11.5 (detalle de 10.5),
también, finalmente, dividiendo:
relación entre los argumentos de P1 y
de P2 en el perigeo o apogeo.
Si
las órbitas fuesen además coplanarias,
i=0, y (28.5)
se reduciría a
es decir, tales fenómenos tendrían lugar en las conjunciones u oposiciones.
Hemos
visto que un planeta P2
estará estacionario si se verifica (20.5), y recordando (17.5), si
u operando
o también, según (23.5):
Puesto que en la hipótesis de órbitas circulares, los argumentos de y
valen u1+90º y u2+90º,
respectivamente (Fig. 12.5), la relación entre los
argumentos de P1 y P2 será ahora, según (29. 5):
o también, dividiendo por y sustituyendo los
valores de
y
:
(30.5)
Si además de circulares las órbitas son
coplanarias (i=0) y suponemos, con
mucha aproximación, que se verifica exactamente la tercera ley de Kepler:
de la relación (30.5) se deduce que hay estación para:
(31.5)
El tiempo que tarda el
planeta en recorrer el doble del ángulo definido por (31.5) es
decir, el intervalo de tiempo transcurrido entre dos estaciones que comprendan la
conjunción inferior o la oposición (según que dicho planeta sea inferior o
superior), es la duración de la retrogradación y vale
, siendo S la
revolución sinódica.
Dado que en el triángulo SP1P2 de la Fig. 4.5 se
verifica:
según (21.5) un planeta P2 estará en la máxima
elongación si
o sea,
siendo , si
Para que se cumpla la condición (32.5) el planeta debe ser inferior (r2< r1)
y, en tal caso, el triángulo SP1P2 de la Fig. 4.5 es rectángulo en P2,
F = 90º; la máxima elongación tiene lugar en la dicotomía (supuestas
las órbitas circulares). Siendo ahora
(33.5)
y, además, G=90º-E
, obtenemos la siguiente relación entre los argumentos de P1 y
P2:
(34.5)
Dado
que en el triángulo SP P de la Fig. 4.5 se verifica:
según (22.5) un
planeta P2 presentará máximo
ángulo de fase si
o, siendo , si
Para que se cumpla la condición (35.5)
el planeta debe ser superior (r2 > r1) y, en tal caso,
el triángulo SP1P2 es rectángulo en P1, E =90º; el máximo ángulo
de fase tiene lugar en la cuadratura (supuestas las órbitas circulares). Siendo
ahora
y, además, G
= 90º - F , obtenemos la siguiente relación entre los argumentos de P1 y P2:
(37.5)