9.2
Fases de la Luna
En el transcurso de una revolución alrededor de la Tierra la Luna no presenta siempre el mismo aspecto, dependiendo éste, en gran parte, de la diferencia de las longitudes celestes aparentes de la Luna y del Sol.
Si esta diferencia es de 0º tenemos luna nueva; si es de 180º, luna llena; si es de 90º, cuarto creciente, y si es de 270º, cuarto menguante. Las épocas en que la diferencia de longitudes es de 0º o 180º reciben el nombre de sicigias y aquéllas en que es de 90º a 270º, el de cuadraturas.
Ahora bien, el aspecto del disco lunar no depende únicamente de la diferencia de las longitudes celestes mencionadas, sino que depende también de la latitud celeste de la Luna y de la posición del observador en la superficie de la Tierra. Más concretamente, está determinado por el ángulo de fase (5.3.1) que en este caso definiremos como el ángulo de las direcciones selenocéntricas del Sol y de la Tierra. Según que consideremos la dirección selenocéntrica del centro de la Tierra o la del observador tendremos el angulo de fase geocéntrico o el angulo de fase topocéntrico.
Las fórmulas (40.9) y (44.9) nos dan las coordenadas selenocéntricas del centro
de la Tierra l y b y las
del lugar de observación, l+Dl y b+Db. Vamos
a calcular las del centro del Sol que designaremos por l0 y b0.
Sean y
la longitud celeste y
el radio vector del Sol; L y B la longitud y la latitud de la Luna y
su vector de posición;
L
y B
la longitud y la latitud heliocéntricas de la Luna y
su vector de posición
heliocéntrica.
, B
< 1
. Las componentes de los vectores
,
y
son:
y entre ellos se verifica la relación
de donde:
Multiplicando la primera de (45.9) por , la segunda por
y restando obtenemos
y multiplicando la
primera por y la segunda por
y sumando,
Dividiendo ahora miembro a miembro las expresiones (46.9) y (47.9) y verificando operaciones para simplificar se llega a la relación
Reemplazando por la razón
entre las paralajes
del Sol y de la Luna y sustituyendo en el primer miembro de (48.9)
y en la tercera de (45.9) los senos por los arcos queda:
(49.9)
Análogamente a como hemos obtenido (40.9) obtendremos:
(50.9)
habiendo
despreciado el término de segundo orden de la longitud dada la pequeñez de B.
Estas expresiones nos dan las coordenadas selenográficas del punto de la superficie de la Luna que tiene el Sol en su cenit; es el polo del hemisferio iluminado. La distancia cenital del Sol para un punto de la superficie de la Luna dado por sus coordenadas selenográficas, se obtiene calculando la distancia angular del punto correspondiente al punto de coordenadas l0, b0.
Hay que advertir que los valores de l0, b0 dados por (50.9) son aproximados y que se les debería sumar la libración física si quisiéramos trabajar con valores más exactos.
Designemos
por F el ángulo de fase geocéntrico
de la Luna y por Q el ángulo de
posición del Sol con respecto al centro de la Luna, contado a partir del polo
norte de la Luna (Fig. 9.9); podemos obtener el valor de F y el de Q resolviendo las ecuaciones
análogas a las (50.5) del Cap. 5.
Se obtiene la fase topocéntrica F + DF y el ángulo de posición correspondiente sumando a la libración en longitud y en latitud que figuran en (51.9) la libración diurna Dl y Db. De este modo se obtiene:
y teniendo en cuenta que DF, Dl y Db son muy pequeños, desarrollando, sustituyendo infinitésimos y agrupando, obtenemos:
Multiplicando la segunda de estas relaciones por cosQ, la tercera por senQ y sumando tendremos:
que junto con la primera nos permitirá despejar DF:
(52.9)
que, teniendo en cuenta (44.9) se puede escribir:
donde recordemos que Da y Dd son los valores de la paralaje diurna de la Luna en ascensión recta y en declinación y C es el ángulo de posición del eje de rotación de la Luna calculado en (41.9). El ángulo C+Q es el ángulo de posición del Sol con respecto a la Luna contado desde el polo norte celeste en sentido antihorario.
En las “Efemérides Astronómicas” del Real Instituto y Observatorio de la Armada se dan las coordenadas selenográficas de la Tierra, la libración física, las coordenadas selenográficas del Sol y el ángulo de posición del eje de la Luna y del limbo iluminado. Además, se dan la edad de la Luna, o número de días transcurridos desde la última Luna nueva, y la fracción iluminada o fase que es la relación entre el área iluminada y el área total del disco lunar (recordar (48.5) de Cap. 5).
Se puede calcular el ángulo de fase sin utilizar l0 y b0. En efecto, sustituyendo en la primera de (51.9) los valores de l, b, l0, y b0 por los dados por las fórmulas (40.9) y (50.9), obtenemos en coordenadas eclípticas:
(54.9)
y si tenemos en cuenta que el primer término del segundo miembro es siempre menor que 0.00004, podremos escribir, utilizando (49.9):
La corrección DF la obtendremos de (53.9).