1.8 Problemas del movimiento diurno
1.8.1 Paso por un vertical de acimut a
Datos |
f,
D, a |
Incognitas |
H, h |
Para
determinar H consideraremos las
fórmulas de paso de horarias a horizontales (Fig. 27.1):
que divididas ordenadamente
dan:
Podemos
resolver esta ecuación tranformándola en una algebraica de segundo grado en senH o cosH, o bien mediante la introducción de un ángulo auxiliar M, haciendo:
con lo que se obtiene
es decir:
(15.1)
fórmulas que permiten resolver
el problema. Obtenemos así dos determinaciones no simétricas (según corte el
vertical hacia poniente o hacia levante), a partir de las cuales podemos
calcular el tiempo sidéreo de paso recordando (7.1).
Para
determinar h procederemos
análogamente a partir de la fórmula de paso de horizontales a horarias:
Introduciendo
el ángulo auxiliar N mediante las
fórmulas:
obtenemos:
(16.1)
resultando, también, dos
determinaciones.
FIG 27.1
Para conocer
la correspondencia entre las determinaciones de H y las de h, usaremos la
relación:
Discusión: El problema no tiene siempre solución. Si en el triángulo esférico
polo‑cenit‑astro de la Fig. 27.1. aplicamos la
analogía de senos, siendo el ángulo paraláctico tendremos:
es decir:
desigualdad que sólo se
verificará si el problema tiene solución. Para comprender esto hemos de tener
en cuenta que si el astro culmina al sur del cenit, el paralelo que describe
corta a todos los verticales (en los dos hemisferios, visible e invisible);
pero, si culmina al norte del cenit, su paralelo sólo cortará a los verticales
de acimutes comprendidos entre unos valores mínimo y máximo, correspondientes a
los verticales tangentes al paralelo del astro (Fig. 28.1).
Si am es el acimut mínimo
y aM el acimut máximo, el
problema tendrá solución si el acimut dado, a, verifica la acotación:
por simetría con respecto al
plano meridiano.
FIG 28.1
Casos particulares
a)Máxima digresión: Decimos que un astro presenta máxima
digresión occidental (oriental) cuando pasa por el vertical de acimut mínimo
(máximo). Por lo tanto, sólo pueden presentar máxima digresión los astros que
culminan al norte del cenit.
Cuando tiene
lugar la máxima digresión es recto el ángulo paraláctico y aplicando al
triángulo polo‑cenit‑astro las fórmulas de los triángulos
rectángulos deducimos (Fig. 27.1):
(17.1)
relaciones que nos dan el
ángulo horario a, H, el acimut, y la altura, h, correspondientes a la máxima
disgresión. También podremos conocer el tiempo sidéreo local en esta posición a
partir de H y de A.
Si la máxima
digresión ocurre cerca del meridiano, H
es pequeño y queda mal determinado por el coseno. Es conveniente, entonces,
efectuar la transformación:
por lo que
Con la
determinación positiva obtenemos el horario de la máxima digresión occidental y
con la negativa el de la oriental.
Por otra
parte, si una estrella presenta máxima digresión (culmina al norte del cenit),
se verifica:
Pero sabemos
que las estrellas circumpolares, perpétuamente visibles, cumplen que pº90°‑D<f. Por tanto, si f<45° (caso de Barcelona) todas las estrellas cirumpolares presentan
máxima digresión. Si f>45º sucede al revés; ambos conjuntos
coinciden si f = 45º (como ocurre, aproximadamente en
París).
b ) Paso por el meridiano: En este caso H=0h y a=0° ó 180°, según que el astro culmine al sur o al norte del
cenit, respectivamente. En cuanto a las alturas se tiene (Figs.
29.1):
FIG
29.1
Los pasos por
el meridiano se observan con el círculo
meridiano, anteojo que sólo puede moverse alrededor de un eje que coincide
con la perpendicular. E1 tiempo sidéreo local del paso nos proporciona la
ascensión recta del astro y la altura la declinación.
c) Paso del Sol por el meridiano: Consideremos
ahora un caso ligeramente distinto del anterior, dado que el Sol presenta
diámetro aparente. Por este motivo, se mide el paso del borde del Sol por el
meridiano y se reduce posteriormente al paso de su centro.
FIG
30.1
Para efectuar
dicha reducción se considera el triángulo PBA como esférico (Fig.30.1);
en él, P es el polo celeste, A el centro del Sol y B el punto de tangencia del círculo PB. Se verifica:
con s, semidiámetro aparente del Sol, aproximadamente igual a 16'.
Sustituyendo en (18.1) los senos por los arcos, resulta:
Si qo es el tiempo sidéreo de paso del centro del
Sol por el meridiano y q es el tiempo sidéreo de paso del borde del
Sol por el meridiano, del H hallado
por las fórmulas anteriores, se desprende:
con el signo más o menos según
consideremos el paso del borde anterior o posterior. Esta reducción se aplicará
siempre que el astro considerado presente diámetro aparente (caso de la Luna y
de los planetas).
Dado que la
declinación del Sol es variable, no presenta la máxima altura cuando pasa por
el meridiano. Se demuestra que el ángulo horario de su culminación viene dado
por:
En nuestra
latitudes f>D y, por lo tanto, tanf-tanD>0.
Cuando dD/dH>0 (invierno y primavera) la culminación se verifica después del
paso por el meridiano y cuando dD/dH<0 (verano y otoño) la culminación
se verifica después de dicho paso.
d)Paso por el primer vertical: En este
caso consideramos el paso por el vertical de acimut 90º. Del triángulo
polo-cenit-astro, rectángulo en Z, obtenemos
(Fig. 31.1):
fórmulas que
nos proporcionan dos determinaciones opuestas para el ángulo horario, pero una
única determinación de la altura en los pasos oriental y occidental.
FIG
31.1
En el caso de
que H sea pequeño, podemos transformar
la fórmula (19.1) como hemos hecho en a) y obtener una
mejor aproximación de su valor:
Conocida la
declinación del astro, los pasos por el primer vertical permiten hallar la
latitud, f,
mediante la fórmula (19.1) (método de Struve).
1.8.2 Paso por un almucantarat de altura h
E1 problema
tendrá solución bajo las siguientes condiciones según que el astro culmine al
sur o al norte del cenit (Fig. 32.1):
FIG
32.1
Datos |
f,
D, h o z |
Incógnitas |
H, a |
FIG
33.1
Aplicando la
fórmula de Borda:
al triángulo polo-cenit-astro (Fig. 33.1), tendremos:
donde las dos determinaciones, positiva
y negativa, se corresponden e indican que el paso es occidental u oriental,
respectivamente.
Casos particulares
a)Paso por el horizonte: En este caso se
suelen considerar como incógnitas el arco semidiurno, H, y la amplitud, a' (recordar (1.6.1).
Para un astro de declinación fija las amplitudes ortiva y occídua son iguales.
E1 triángulo polo‑cenit‑astro es rectilátero y permite resolver el
problema (Fig. 34.1):
FIG 34.1
Procediendo
como en casos anteriores, si H es
pequeño:
Si el
problema tiene solución, la raiz nunca es imaginaria. En efecto, si el astro no
es circumpolar, 90° ‑ D > f por lo que cos (f + D) > 0. Y como:
restando ordenadamente,
resulta:
y, por tanto,
Además, como
que 90° ‑ D > f , tomando cosenos y recordando que el coseno
es una función decreciente:
a’ sólo posee una
determinación (la menor de 90°) y H posee
dos, según se considere el orto o el ocaso (negativa o positiva
respectivamente).
FIG 35.1
b) Orto y ocaso del Sol: Para el caso del
Sol (como para el caso de la Luna) es necesario considerar una corrección DH al arco semidiurno H, debido a que cuando el Sol está en su orto o en su ocaso la
altura de su centro es de ‑50' (Fig. 35.1) (recordar
1.6.5). Para obtenerla diferenciaremos la fórmula de
conversión de coordenadas horarias a horizontales,
con lo cual obtendremos:
Considerando
la dh como un incremento, teniendo en
cuenta que cos h 1 y que 50' = 200s, resulta:
habiéndose
obtenido H mediante la fórmula
hallada en el apartado anterior, Dicha corrección siempre es aditiva, dado que
su signo ya viene dado por sen H.