8.8
Perturbaciones debidas a la acción de varios astros
Consideremos n + 2 puntos materiales P0, P, Pi
(i = 1, 2, ...n) de masas respectivas m0, m, mi
(i = 1, 2, ...n) y sean y
los vectores de
posición de P0 y P en un sistema inercial 0; X, Y, Z (Fig.16.8).
Tomemos un sistema de ejes cartesianos con origen en P0 y ejes x, y,
z paralelos a los X, Y, Z, respectivamente. Llamemos
y
a los vectores de
posición de P y Pi con respecto a P0 y
al vector de posición de Pi con respecto a P. De
acuerdo con la fórmula (32.7) de 7.4, suponiendo m0 = 1 y
refiriendo las otras masas a esta unidad, la ecuación del movimiento de P con
respecto a P0 será
en la que el primer término del segundo miembro representa la acción del cuerpo P0 sobre el cuerpo de masa m, el primer término en el paréntesis la acción de los cuerpos de masas mi sobre el de masa m y el segundo término en el paréntesis representa la acción de los cuerpos de masas mi sobre el primario de masa m0 = 1. Evidentemente esta fórmula (73.8) se puede aplicar tanto al estudio del movimiento de un planeta del sistema solar (P0 = Sol) como a un satélite artificial de cualquier planeta o satélite natural.
La parte de (73.8) que depende de mi es la aceleración perturbatriz o fuerza perturbatriz por unidad de masa y es fácil ver que deriva de una función de fuerzas
llamada función pertubatriz.
Podemos obtener la formulación canónica de las ecuaciones del movimiento por consideraciones análogas a las planteadas en 7.1. En efecto, observemos que se verifica
Sustituyendo (75.8) y (76.8) en (73.8) obtenemos:
(77.8)
Teniendo en cuenta (74.8) y haciendo
nos queda
(78.8)
Introduciendo ahora la función hamiltoniana H definida en (7.1) y operando de manera análoga a como hemos operado allí, tendremos las ecuaciones:
indicando
por y
los gradientes
respecto a las variables
y
respectivamente. Las
ecuaciones (79.8) son una generalización de las (9.7) y
suelen escribirse también en la forma:
8.8.1
Perturbaciones especiales. Método de Encke
Veamos ahora como podemos integrar numéricamente las ecuaciones (73.8) para intervalos relativamente pequeños. Escribámoslas en la forma
Si las masas mi desapareciesen brúscamente en un instante t, el movimiento sería kepleriano y obedecería a las ecuaciones
siendo el radio vector de P
respecto a P0 en el instante t0.
Supongamos que podemos distinguir entre cuerpo perturbado y cuerpo no perturbado. A partir de la época t0 uno y otro siguen trayectorias distintas; pero, tienen evidentemente las mismas posiciones y las mismas velocidades iniciales
Supongamos que hemos calculado el valor numérico de las coordenadas en función del
tiempo y pongamos
De esta forma ponemos en evidencia las perturbaciones de las
coordenadas, o dicho de otra forma, las coordenadas diferenciales de la posición
perturbada con relación a la posición kepleriana.
Continuemos designando por mi las masas de los astros
perturbadores y por sus coordenadas. Si,
como ocurre normalmente, nos proponemos determinar las perturbaciones ejercidas
sobre un pequeño planeta o sobre un cometa por uno de los grandes planetas cuya
teoría analítica ha sido completamente desarrollada y que no sufre ninguna
perturbación sensible por parte del astro estudiado, es legítimo suponer conocidos
los valores numéricos de las posiciones
en función del tiempo.
Las coordenadas satisfacen la ecuación
(81.8) de modo que
donde
Si restamos de los dos
miembros de (83.8), teniendo en cuenta (82.8),
obtendremos:
Las perturbaciones pueden determinarse
por integración directa de las ecuaciones (84.8). El
término
puede calcularse, para
alguna fase de la integración, a partir de las leyes del movimiento elíptico y
el
se calculará para cada
fase de la integración extrapolando
. Ahora bien, este proceso no es práctico, puesto que
es muy pequeño y
con lo cual resulta que
su diferencia, primer término de
, es muy poco significativa. Para salvar esta dificultad
Encke ideó una transformación que dió lugar al llamado método de Encke.
Se tiene
Hagamos ahora
de donde
y llamemos
Tendremos:
Si es tan pequeño en
comparación con
que su cuadrado se
puede despreciar, entonces escribiremos (85.8) en la
forma:
función más fácil de calcular que la (85.8).
Si es q 1 podemos obtener un
valor aproximado de (86.8) desarrollando en serie
(88.8)
y todavía podemos definir una función
que cuando q
0 vale f = 3.
La ecuación (84.8), resulta, con estos cambios:
y es la que
debe integrarse en el método de Encke. La solución comprende seis constantes de
integración que se toman de modo que las coordenadas y las componentes de la
velocidad en una órbita no perturbada (,
) sean las mismas que las de la órbita perturbada en una
época particular para la cual
y
son nulos. La fecha en
la que esto ocurre se llama la fecha de osculación.
Las ecuaciones (89.8) son rigurosas si q se calcula con la fórmula (85.8). Para iniciar la integración q se calcula con la fórmula (87.8). Las perturbaciones van siendo incrementadas gradualmente y cuando sus cuadrados ya son apreciables entonces se utiliza la fórmula (85.8).
Si limitamos la integración a una época dada t1,
obtendremos y
correspondientes
a dicha época. Con
y
podremos
determinar los elementos de una nueva órbita osculatriz siendo t1
la época origen. El proceso se puede seguir hasta conseguir que las
diferencias O – C sean suficientemente pequeñas. De esta forma, la órbita
perturbada se halla dividida en una serie de arcos cada uno de los cuales ha
sido objeto de una operación particular. Decimos que con este proceso hemos rectificado
la órbita.
El método de Encke es uno de los métodos que se conocen con el nombre genérico de método de 1as perturbaciones especiales. Se aplica al cálculo de efemérides de pequeños planetas para los cuales no se ha establecido una teoría analítica, al cálculo del movimiento de cometas perturbado por los grandes planetas, etc. Últimamente se ha recurrido al método de las perturbaciones especiales para controlar en ciertos puntos la teoría analítica de algunos planetas, principalmente Marte y Saturno.
8.8.2 Método de variación de las constantes de
Lagrange
Siguiendo a Lagrange consideraremos un sistema algo más general que el
(80.8) de 2k ecuaciones con 2k incógnitas que escribiremos de la
forma
con funciones de las 2k
variables y el tiempo.
Supongamos que las funciones
que dependen del tiempo y de las constantes a1,..., a2k, son las integrales del sistema
que resulta
de (90.8) con .
El método de Lagrange consiste en suponer que las integrales del sistema (90.8) son de la forma (91.8) donde las constantes a1, a2, ... ,a2k se consideran variables con el tiempo. De este modo tendremos:
mientras que si las aj (j = 1, 2,..., 2k) son constantes será:
y por tanto, en este caso, el sistema (92.8) deberá escribirse en la forma:
Sustituyendo (93.8) en (90.8) teniendo en cuenta (95.8) queda:
(96.8)
y
multiplicando la primera de estas igualdades por , la segunda por
y sumando respecto al
índice i obtenemos:
(97.8)
ecuaciones de Lagrange que suelen escribirse de la forma
donde
(99.8)
son los
llamados paréntesis de Lagrange.
Recordemos algunas propiedades de estos paréntesis que nos van a ser útiles:
a) Si ah = aj. el paréntesis es nulo.
b) para cualquier par de valores de ah y aj.
c) cualesquiera que sean ah y aj.
d) Un giro del sistema de referencia alrededor de uno cualquiera de los ejes de modo que O; x, y, z → O; x1, y1, z1 transforma el paréntesis de Lagrange de la siguiente forma
donde y
son los transformados
de los vectores
y
con este giro, α
es el ángulo de giro y
es el jacobiano de la
transformación.
8.8.3 Aplicación al movimiento planetario
Para aplicar el método de variación de las constantes al movimiento planetario necesitamos algunas expresiones deducidas al estudiar el movimiento elíptico (3.6) y sus derivadas con respecto al tiempo que listamos a continuación:
(103.8)
De las (100.8) y (101.8) deducimos:
En virtud de la independencia del tiempo de los paréntesis de Lagrange (propiedad c)) podemos calcular el valor de estas derivadas para cualquier instante t. Así, si hacemos t = T (época de paso a por el periastro) y tenemos en cuenta que en el periastro es E = 0, de (102.8) obtenemos:
(107.8)
de donde se deducen los siguientes valores en el periastro para las derivadas (104.8), (105.8) y (106.8).
Recordemos, por otra parte, los giros que nos permiten pasar del
sistema (P0; x,y,z) al sistema de coordenadas sobre la
órbita del punto P de masa m (3.11.3 y 3.12). Si llamamos p y q
a dos cualesquiera de los elementos orbitales
y
aplicamos la propiedad de los paréntesis de Lagrange que hemos designado por
d), el paréntesis [p, q], a causa de estos giros, se irá
transformando en otros [p, q]1, [p, q]2,
[p, q]3 , dados por las expresiones:
siendo:
De (109.8) por sustituciones sucesivas se obtiene
siendo, por definición de peréntesis de Lagrange:
Pero, aplicando una conocida propiedad de los jacobianos y teniendo en cuenta las expresiones (108.8) podemos escribir:
y sustituyendo en (110.8) resulta:
Para simplificar la expresión (111.8) se utiliza la variable
cuya derivada respecto a p es
(112.8)
El proceso de cálculo que hemos seguido
para llegar a la fórmula (112.8) constituye lo que se
conoce con el nombre de método de Whittaker.
Las ecuaciones de Lagrange (98.8) para un movimiento
orbital perturbado se pueden obtener de manera sencilla sustituyendo los
elementos ah, aj (o p, q)
por cualquiera de los elementos orbitales. Así, cuando utilicemos las variables
los paréntesis de
Lagrange tomarán los valores:
(113.8)
siendo nulos todos los restantes. Luego, en este sistema de variables, las ecuaciones (98.8) se escribirán:
(114.8)
sistema que constituye una de las formas canónicas de las ecuaciones del movimiento planetario.
Si, en lugar de las anteriores, utilizamos las variables ,
,
, llamadas variables de Delaunay, obtendremos:
resultando el sistema
Si en lugar de la función perturbatriz R consideramos la función
al sustituir R en función de F en (115.8) obtendremos el sistema de ecuaciones
(116.8)
utilizado por Delaunay en su teoría de la Luna.
Si tomamos las variables ordinarias y calculamos los
paréntesis de Lagrange utilizando (112.8) encontraremos
que los únicos no nulos son:
(117.8)
y los que resultan de permutar las variables entre sí que en virtud de la propiedad b) tienen signos contrarios.
Sustituyendo los valores (117.8) y sus opuestos en las ecuaciones (98.8) se obtiene el sistema:
Despejando de (118.8) las derivadas de los elementos orbitales se obtiene:
sistema fundamental en el estudio del movimiento planetario que nos da las variaciones de los elementos orbitales de un determinado planeta (de masa m) a partir de un cierto instante en el que conocemos su órbita osculatriz.
Estas ecuaciones (119.8) son rigurosas y aunque las hayamos deducido para las perturbaciones producidas sobre un planeta de masa m por otros cuerpos del sistema solar (recordemos (74.8)), se pueden utilizar cuando R es debida a cualquier otra causa; por ejemplo, a la forma y distribución de la masa de un planeta cuando se aplican a un satélite artificial de dicho planeta.
Es fácil pasar del sistema (119.8) al sistema de ecuaciones de Gauss (I a VI del Cap. 8) sin más que tener en cuenta que la R a la que nos estamos refiriendo como función perturbatriz es la aceleración perturbatriz. Basta pues escribir las derivadas de R que aparecen en (119.8) en función de las componentes radial, transversal y perpendicular a la órbita.
8.8.4 Solución de las ecuaciones
planetarias de Lagrange
Se puede establecer la teoría analítica general de
las perturbaciones en el sistema planetario utilizando las ecuaciones (119.8) y la función R (74.8)
escritas para cada uno de los planetas siendo el Sol el primario de masa 1. Sin
embargo, en la solución de Lagrange la función R se escribe en la forma de
d’Alambert
donde los coeficiente F son los productos de mi (masa de los cuerpos perturbadores) por ciertas funciones de los ejes mayores, de las excentricidades y de las inclinaciones, es decir, si, para simplificar y como hacen la mayoría de los autores, suponemos un solo cuerpo perturbador de masa m’,
(121.8)
y donde los argumentos D dependen linealmente de las anomalías medias, de los argumentos de los nodos y de los argumentos de los perihelios de los cuerpos perturbadores y del perturbado, o sea:
(122.8)
con j, j’, k, k’, l, l’ enteros.
Como que las masas de los planetas son muy pequeñas comparadas con la del Sol, podemos suponer que la variación de los elementos dada por las ecuaciones (119.8) es muy pequeña; por consiguiente, para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de Lagrange podemos proceder por aproximaciones sucesivas.
Para obtener las perturbaciones de primer orden en la primera aproximación reemplazaremos en los segundos miembros todos los elementos por sus valores iniciales (elementos osculadores) a0, e0, i0, ... e integraremos después con relación al tiempo. Tendremos:
Teniendo en cuenta (120.8):
y sustituyendo en (123.8):
En estas seis ecuaciones (125.8) intervienen integrales de dos tipos:
cuando el tiempo figura linealmente en los argumentos D0, y
cuando
y, por tanto, el
tiempo no figura en la expresión de D0.
En el primer caso las integrales dan las desigualdades
periódicas de los elementos y en el segundo caso dan las perturbaciones
seculares.
Observamos que en el segundo supuesto (), en virtud de las expresiones (124.8),
en las perturbaciones de primer orden y en la primera aproximación las
perturbaciones del eje mayor y las del movimiento medio no contienen términos
seculares.
Generalmente, los valores j
y son tales que
no es una cantidad particularmente pequeña en comparación con
y los periodos de los
términos en que figuran son del mismo orden que los periodos orbitales de los
dos cuerpos implicados. Estos términos reciben el nombre de desigualdades de
corto periodo. Si j y j’ son tales que hacen que
tome un valor, sinó
nulo, muy pequeño sin ser nulos j y j’, entonces existirá una
relación aproximada de conmensurabilidad entre el movimiento medio del cuerpo
perturbado y el del perturbador. Las desigualdades correspondientes tienen un
periodo muy largo y reciben el nombre de desigualdades de 1argo
periodo; además, su coeficiente, que contiene el factor
puede tomar un valor
muy grande independientemente de que F0 sea grande o pequeño. Se dice entonces que
es
un pequeño divisor.
El ejemplo más notable de desigualdades a largo periodo es dado por Júpiter y Saturno cuyos movimientos medios son respectivamente
Si desarrollamos la razón , en fracción contínua obtenemos:
Las fracciones reducidas son:
y la que da el
divisor más pequeño es . Luego:
El periodo de esta desigualdad
abarca 883 años; la longitud media de Júpiter puede ser perturbada de unos y la de Saturno de
unos
. Estas son las desigualdades más importantes debidas a las
perturbaciones en el sistema solar.