8.4 Perturbaciones debidas al
potencial terrestre
Recordemos la expresión del potencial terrestre obtenida en 2.3.2, fórmula (31.2):
(19.8)
(20.8)
es el potencial no newtoniano.
Sean S y P las componentes radial y perpendicular, respectivamente,
de la fuerza perturbatriz correspondiente al potencial terrestre (Fig.
2.8), iguales a las componentes del gradiente de U:
Nos interesa ahora hallar las componentes fS, fT, fR de la fuerza perturbatriz para sustituirlas en las ecuaciones de Gauss. De la figura 3.8 deducimos:
y sustituyendo en (21.8) tendremos
Por otro lado deducimos del triángulo NAQ de la figura 3.8 las relaciones:
Que sustituidas en (22.8) nos dan
Escribiendo la expresión de la variación de los elementos en función de
la anomalía verdadera teniendo en cuenta el valor , obtenemos:
Sustituiremos sucesivamente por los
valores de las variaciones de los elementos orbitales dadas por las fórmulas de
Gauss. En primer lugar, para
tendremos, recordando
(I):
y resolviendo la integral (se sugiere utilizar el método de resolución que nos da la teoría de residuos) se obtiene:
(25.8)
fórmula que
nos da la variación de en una vuelta.
Si i<
90º (movimiento directo), , el nodo retrograda.
Si i
= 90º (órbita polar),
Si i
>90º (movimiento retrógrado), , el nodo avanza.
Para hallar la variación de la inclinación partiremos de la segunda
ecuación de Gauss, fórmula (II) y sustituiremos en (24.8) por i’.
Tendremos:
que una vez integrado nos dará:
lo cual nos dice que la fuerza perturbatriz debida al potencial terrestre no afecta la inclinación de la órbita.
El mismo resultado se halla para las variaciones del semieje mayor y de la excentricidad. Es decir, se obtiene
La quinta ecuación de Gauss nos dará la variación del argumento del periastro. En efecto, sustituyendo (V) en (24.8) e integrando, obtendremos:
Si , es
. El ángulo i es entonces de ic =
(tan i = 2).
Dicha inclinación, que recibe el nombre de inclinación crítica, es
aquella con que debe lanzarse un satélite artificial para que la forma de la
Tierra no influya en el argumento del periastro. De hecho, con esta inclinación
fueron lanzados los primeros satélites rusos.
Si i = ic no hay avance del periastro
Si i < ic el periastro avanza
Si i > ic el periastro retrograda.
Finalmente la sexta ecuación de Gauss nos proporcionará la
variación de M o lo que es equivalente de . Sustituyendo (VI) en (24.8) y operando se obtiene:
Si sen2 i = 2/3, σ no varía. Entonces y tan2 ic = 2.
Si i < 54º44 es Ds > 0
Si i = ic es Ds = 0
Si i
> 54º44 es Ds < 0
ic es la inclinación con que se lanzaron los Explorer.
8.4.1 Perturbaciones debidas al potencial terrestre
en el caso particular de un potencial terrestre central
Estudiemos el caso en que la fuerza perturbatriz es de la forma
Es evidente que en el sistema S,T,R sólo tiene componente no nula en la dirección de S, es decir
Trabajaremos con la anomalía verdadera; por tanto, utilizaremos, igual que en el apartado anterior la fórmula (24.8).
Como que según (I) y (II),
e i’ son proporcionales
a fR, serán
Para tendremos, recordando
(III):
y siendo
resulta
Para , tendremos asimismo, haciendo uso de (IV):
resultando
Vemos pues que una fuerza perturbatriz central no afecta la posición del nodo ni la inclinación y tampoco la forma de la órbita.
En cambio, veremos que sí afecta el argumento del nodo y la época de
paso por el periastro. En efecto, sustituyendo en primer lugar w en (24.8) tendremos:
El valor de la integral es
y por tanto:
Otra forma frecuente de expresar este resultado se obtiene con el
cambio que da:
Sustituyendo ahora en (24.8)
obtenemos:
y después del cálculo de la integral:
donde el primer sumatorio se extiende para valores impares de k y el segundo para valores pares.