7.2 Las diez integrales clásicas
Las ecuaciones (1.7) constituyen un sistema de 3n ecuaciones
escalares diferenciales de segundo orden. Por tanto, el sistema es de orden 6n
y se necesitarían para resolverlo completamente 6n constantes de
integración, es decir, 6n funciones de ,
, t que permanecieran constantes durante el
movimiento. Se conocen si n=2; pero, en el caso general sólo se conocen
10.
Sumando las ecuaciones (1.7),
teniendo en cuenta que , obtenemos
(10.7)
e integrando dos veces:
y
expresiones que constituyen seis integrales primeras cuyas
seis constantes de integración son las componentes de los vectores y
.
Para hallar el significado de estas integrales
definamos el centro de masas de los n cuerpos
por el vector de posición :
con .
Teniendo en cuenta (1l.7),(12.7) y (13.7)
resulta:
(14.7)
(15.7)
relaciones que nos dicen que el centro de masas
del sistema se mueve en el espacio con movimiento rectilíneo y uniforme.
Las integrales (11.7) y (12.7) reciben el nombre de integrales
del centro de gravedad o del momento lineal.
Multiplicando vectorialmente
las ecuaciones (1.7) por y sumando se obtiene:
Pero,
y
por consiguiente, en el segundo miembro de (16.7) se van destruyendo los términos dos a dos y en
consecuencia queda:
(17.7)
e integrando, teniendo en cuenta la igualdad
se obtiene
expresión que aporta tres nuevas integrales
primeras al problema que reciben el nombre de integrales de las áreas o
del momento angular. El vector es el momento
angular y sus componentes constituyen otras tres constantes de integración.
La ecuación (18.7)
nos dice que el momento angular de las masas en el sistema es constante. El
vector define un plano
llamado plano invariante de Laplace inclinado
1,5º respecto al plano de la eclíptica y situado entre los planos orbitales de
Júpiter y Saturno.
Para hallar la décima constante de integración
multipliquemos escalarmente la ecuación (6.7) por y sumemos con respecto
al índice i. Obtendremos:
(19.7)
e integrando:
o lo que es lo mismo (ver (2.7)):
expresión que constituye la llamada integral de
la energía siendo la constante de integración h la energía del
sistema.
El primer miembro de la ecuación
(21.7) es la energía cinética del sistema, mientras que -U
es la energía potencial. Por consiguiente, dicha ecuación (21.7)
establece que la energía total del sistema de los n cuerpos es constante.
Dicho de otra forma, el sistema es conservativo.
Las expresiones dadas por (11.7), (12.7), (18.7)
y (20.7) se denominan integrales clásicas del
problema de los n cuerpos. De momento no se conocen más. Bruns y Poincaré demostraron que,
aparte de las diez encontradas, no existen otras integrales del problema de los
n cuerpos que den ecuaciones que contengan sólo funciones, algebraicas o
integrales, de las coordenadas y velocidades de los cuerpos válidas para todas
las masas y que satisfagan las ecuaciones del movimiento.
Es posible reducir el orden
del problema utilizando las diez integrales clásicas; el origen de coordenadas
puede trasladarse al centro de masas del sistema y con la ayuda de las
integrales del área y de la energía se obtiene un sistema de orden (6n -
10).