3.9 Movimiento parabólico
En el caso de que la trayectoria sea una
parábola es e=1 y por tanto su
ecuación será
(58.3)
o también, teniendo en cuenta que en la parábola es p=2q
siendo q la distancia del foco al
periastro y que tenemos:
(59.3)
Consideremos ahora un sistema de coordenadas
rectangulares x, h con origen en el foco O (Fig. 9.3).
FIG 9.3
Se verificará:
y haciendo
queda
(60.3)
o, también, en polares:
(61.3)
Se trata pues de determinar s, ya que una vez calculada tendremos
inmediatamente las coordenadas cartesianas y polares del astro en su órbita.
Partiendo de la ley de las áreas en su forma
polar y teniendo en cuenta el valor del parámetro p=c2/m , tenemos:
de donde, teniendo en cuenta la ecuación de la órbita relativa:
e integrando entre T y t, teniendo en cuenta que para t = T (época de
paso por el periastro) es V =0:
es decir:
El movimiento parabólico viene pues regido
por la ecuación
que constituye la llamada ecuación
de Barker. Dicha ecuación tiene siempre una única solución. Efectivamente,
si
como
f(s) es una función monótona creciente
que pasa por el origen, por lo que presenta un único punto de intersección (que
es la solución) con la recta
(Constante en cada problema).
La solución puede hallarse, por ejemplo,
aplicando el algoritmo de Cardano, con lo que resulta:
donde D es el discriminante
que es positivo, lo cual indica que la ecuación de Barker tiene una raíz
real y dos complejas conjugadas, como ya hemos demostrado.
La ecuación (62.3) ha
sido también tabulada para diversos valores del primer miembro.
Si en (62.3) se
expresan q y c en unidades astronómicas, se tiene, en días medios,
Se suele escribir
M(V)= 75s+25s3
y se tabula M(V) (tablas de
Barker). El tiempo transcurrido desde el paso por el perihelio, conocida V, se obtiene de la fórmula
en la cual el coeficiente de q3/2
resulta de dividir 27d,403895 por 25.
Para q=1,
el tiempo necesario para que la anomalía V
pase de 0° a 90°, variando entonces M(V)
de 0 a 100, es igual a 109d,61 , de donde el nombre de cometa de 109
días dado por los antiguos a un cometa ficticio cuya distancia al perihelio
fuera de 1 u.a.