2.2 Paralaje diurna
Las
distancias a que se encuentran los astros del sistema planetario de la Tierra
no pueden considerarse como infinitas respecto a las dimensiones de ésta, y,
por ello, las visuales dirigidas a un mismo astro desde lugares distintos de la
Tierra no pueden considerarse paralelas. De ahí se deduce la necesidad de
reducir todas las observaciones a un mismo punto con objeto de hacerlas
comparables. Este punto es el centro de la Tierra. A las coordenadas así
obtenidas se las llama geocéntricas,
mientras que las relativas a cada observador se denominan topocéntricas. La corrección que hay que aplicar para pasar de
coordenadas topocéntricas a geocéntricas recibe el nombre de corrección de paralaje diurna.
2.2.1 Coordenadas horizontales
FIG 6.2
En
primera aproximación, para comprender el fenómeno, consideremos la Tierra esférica
de radio medio R y estudiemos la corrección de paralaje diurna en coordenadas
horizontales. Sea O el centro de la
Tierra, O' el observador y M y Mh
el astro cuando se encuentra en una posición cualquiera y cuando se encuentra
sobre el horizonte de O'
respectivamente (Fig. 6.2). El plano de la figura es el
plano que pasa por O, O' y M;
es decir, el vertical que pasa por M.
Dicho plano contiene el cenit del lugar de observación y por consiguiente la
paralaje afectará únicamente la altura y no el acimut. Sea r la distancia de M al
centro de la Tierra (supuesta constante en el transcurso del día); z la distancia cenital geocéntrica de M y z'
la distancia cenital topocéntrica. Sean, además, p la paralaje en altura o
ángulo bajo el cual se ve desde M el
radio de O' y ph la paralaje
horizontal o ángulo bajo el cual se ve desde Mh el mismo radio. En el triángulo OO'M se verifica:
y en el OO'Mh
o aproximando por el
ángulo:
Aplicando el teorema de
los senos al triángulo OO'M, tenemos:
es decir,
y por (16.2):
(17.2)
Si exceptuamos los
satélites artificiales y la Luna, dada la pequeñez de p y ph, en
(17.2) podemos sustituir los senos por los arcos:
y por (15.2):
(18.2)
igualdades que constituyen
la corrección de paralaje diurna en coordenadas horizontales.
Consideremos
ahora la Tierra como un elipsoide de revolución y estudiemos la corrección de
paralaje diurna en coordenadas horarias.
Se
llama paralaje horizontal ecuatorial p0
de un astro M el ángulo bajo el cual el radio ecuatorial de la Tierra.
Se
verifica:
(recordemos que a = 6.378,140 km).
En
el caso del Sol, se designa por P0
su paralaje horizontal ecuatorial cuando se encuentra a una unidad astronómica de
distancia (1 u.a. km). Si se toma como unidad de longitud dicha
distancia media, P0 en
segundos valdrá:
Si
medimos P0 en radianes y las
distancias en u.a., el radio del observador será, evidentemente P0r.
Para la deducción de la corrección representamos la traza del elipsoide
terrestre por el plano meridiano que pasa por el observador O', y trasladamos su sistema local de
coordenadas horarias X’,Y’,Z’, al
centro de la Tierra, conservando fijo el plano X’Y’. Tendremos el sistema X,Y,Z,
donde XZ define el mismo plano que X'Z' (Fig. 7.2). Sean
(r,H,D) las coordenadas
horarias geocéntricas de un astro M y
(r’,H’,D') las coordenadas
horarias topocéntricas del mismo. f' y r
se obtienen de f, l, h, supuestas conocidas.
FIG 7.2
Es
evidente que
donde r
está contenido en el plano meridiano de O'.
Expresando (19.2) por sus componentes obtenemos las relaciones
que constituye un sistema
de tres ecuaciones que nos permite determinar las tres incógnitas r, H, D. Si el astro M se encuentra muy alejado (), pueden simplificarse los cálculos mediante el
empleo de fórmulas diferenciales.
Consideremos
el anterior sistema de coordenadas X,Y,Z,
de centro O, y un sistema de
coordenadas X’’, Y’’, Z’’ (Fig.
8.2) con centro en el astro M
definido de la siguiente forma:
FIG 8.2
Eje
X" tangente al meridiano de M creciente en el sentido de las
declinaciones decrecientes; eje Y"
tangente al paralelo de M creciente
en el sentido de los horarios crecientes; eje Z" en la dirección y sentido creciente del radio vector , estando los dos triedros orientados en sentido
retrógrado. Podemos pasar de una base a otra mediante un número finito de
rotaciones.
Si
definimos:
siendo las magnitudes con
tilde las topocéntricas y las otras las geocéntricas, según (19.2):
y según (20.2):
Si
consideramos a como un
vector libre, lo podemos situar con origen en el astro M y hallar sus coordenadas con respecto a la base X" Y" Z" que obtendremos
en función de las correcciones (21.2). Representando las
dos expresiones de
en esta misma base X" Y" Z" e identificando
obtendremos un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas serán las correcciones (21.2).
Para
ello descompongamos según sus
componentes diferenciales en X"
Y" Z"
(la primera componente es
negativa al considerarla en el sentido de las declinaciones decrecientes). Pasemos
las componentes de según XYZ a las componentes según X"Y"Z", para lo cual se
precisan dos giros: uno de amplitud H
alrededor de Z que transforma X Y Z en X’Y’Z’, y otro de amplitud 90º-D
alrededor del eje Y’ que transforma X Y Z en X”Y”Z”.
El
primero tiene lugar alrededor del tercer eje, en sentido positivo, luego se
consigue aplicando R3(H); el segundo alrededor del segundo eje y también en
sentido positivo, es decir, se consigue aplicando la matriz R2(90° ‑ D).
Luego, tendremos:
y operando e
identificando:
(22.2)
En
Astronomía de posición sólo se consideran las dos primeras igualdades. Teniendo
en cuenta que q=A+H, por lo que, y que
viene expresado en segundos de arco, tenemos:
(23.2)
donde r se mide en
unidades astronómicas y vendrá expresado en
segundos de tiempo. Dichas igualdades también se escriben:
donde
denominándose PD
factor paraláctico en declinación y PA
factor paraláctico en ascensión recta.
Por
definición de y
es:
(24.2)
Los
factores cos y sen
se pueden obtener de los Anuarios para distintas latitudes
en función de S, C y
(ver, por ejemplo,
"Efemérides Astronómicas", Instituto y Observatorio de Marina, San
Fernando (Cádiz)). Para hallar r se
parte observaciones simultáneas de M desde dos puntos distintos de la Tierra.
En un mismo instante será:
debiéndose obtener la
misma r a partir de las ascensiones
rectas y declinaciones. En el cálculo de los factores paralácticos es
indiferente tomar coordenadas topocéntricas o geocéntricas.